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In der mehrdimensionalen Funktionentheorie ist der Polyzylindercite-ref-1[1] oder Polykreiscite-ref-2[2] das kartesische Produkt von Kreisscheiben.

Bezeichnet man genauer mit Δ Δ ( z , r ) = { w ∈ ∈ C ∣ ∣ | z − − w | < r } {\displaystyle \Delta (z,r)=\{w\in \mathbb {C} \mid |z-w|<r\}} eine offene Kreisscheibe in der komplexen Ebene, dann ist der Polyzylinder um den Punkt z = ( z 1 , … … , z n ) ∈ ∈ C n {\displaystyle z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}} mit dem Multiradius r = ( r 1 , … … , r n ) {\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{n})} gegeben als

Δ Δ ( z 1 , … … , z n ; r 1 , … … , r n ) := Δ Δ ( z 1 , r 1 ) × × ⋯ ⋯ × × Δ Δ ( z n , r n ) {\displaystyle \Delta (z_{1},\ldots ,z_{n};r_{1},\ldots ,r_{n}):=\Delta (z_{1},r_{1})\times \dots \times \Delta (z_{n},r_{n})}

oder äquivalent als

{ w = ( w 1 , … … , w n ) ∈ ∈ C n ∣ ∣ | z k − − w k | < r k , k = 1 , … … , n } . {\displaystyle \{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|<r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.}

Der abgeschlossene Polyzylinder wird dadurch definiert, dass man das < {\displaystyle <} -Zeichen durch ≤ ≤ {\displaystyle \leq } ersetzt:

Δ Δ ¯ ¯ ( z 1 , … … , z n ; r 1 , … … , r n ) := { w = ( w 1 , … … , w n ) ∈ ∈ C n ∣ ∣ | z k − − w k | ≤ ≤ r k , k = 1 , … … , n } . {\displaystyle {\overline {\Delta }}(z_{1},\ldots ,z_{n};r_{1},\ldots ,r_{n}):=\{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|\leq r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.}

Der Polyzylinder ist ebenso wie die euklidische Kugel { w ∈ ∈ C n ∣ ∣ ∑ ∑ j = 1 n | w j − − z j | 2 < r 2 } {\textstyle \{w\in \mathbb {C} ^{n}\mid \sum _{j=1}^{n}|w_{j}-z_{j}|^{2}<r^{2}\}} eine Verallgemeinerung der eindimensionalen Kreisscheibe. Für n > 1 {\displaystyle n>1} sind diese beiden Mengen aber nicht biholomorph äquivalent. Diese Aussage wurde 1907 von Poincaré bewiesen, indem er zeigte, dass die Automorphismengruppen der beiden Mengen als Lie-Gruppen unterschiedliche Dimension haben.

• Literatur

• Einzelnachweise

• Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3

• Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969

cite-note-11. ↑ Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag 2001, ISBN 978-3-528-03174-9, Seite 43

cite-note-22. ↑ Joseph Wloka: Grundräume und verallgemeinerte Funktionen, Springer Lecture Notes in Mathematics 82 (1969), Seite 3.